即日起，我会精选一些独特的、有趣的、或是能够帮助宅友们丰富数学知识以至于能够应付考试的一些精妙数学的问题给大家。#7126!>> 我是可爱的问题
1. 还记的比例的基本性质吗？无论你是否能够很快的回顾起来，现在请画一个三角形，用一条和底边平行的直线切割这个三角形，然后利用相似三角形的原理分析其中的边角关系，然后分析其中的比例关系，它们便是比例的基本性质。请将思维过程截图并回复。（50分/灵石）
2. 回忆化学中学过的物质的量的相关运算，你能运用上面回顾的比例的基本性质推导一些结论吗？请将分析过程截图。（无论它们时候具有实际意义，你的思维过程都是宝贵的）（50分/灵石）
[要是我没学过物质的量肿么办？在学科区找到化学必修一的电子课本，快速翻阅第一章的内容即可学到啦]3. 你还记得弧度制的定义吗？我们规定“在同圆或等圆中，弧长等于半径长的圆心角所对应的弧度数为1弧度”，仔细思考你今天所熟练运用的弧度制运算，你能明白这样规定的好处吗？圆周率π是周长和直径的比值，弧度是弧长和半径的比值，你能发现这之间的联系吗？请将你的思维过程截图并回复。（60分/灵石）
4. 联系问题2，和问题3，你能彻底明白将碳原子的微粒数为基准来衡量其它物质的微粒数的“物质的量”的定义吗？（20分/灵石）
5. 请自己编写一个关于比例和实际生活的思考题给宅友完成，该问题将会入选下一次的思维训练。（1技能点、20喵点）
>> 复习引导
1. 三角函数相关
2. 平面几何相关
3. 物质的量相关
选择你喜欢的题目作答，不一定要全部回答哦。大家的作答将在下期公开，届时大家可以相互讨论。◇思考提示将在下期给出◇
[vip1] 我们的课本里有这样的公式 [/vip1]
[article3] 物质的量
= 物质的实际质量 ÷ 物质的摩尔质量
= 气体的实际体积 ÷ 气体的摩尔体积
= 溶液体积 * 溶液里溶质的物质的量浓度[/article3][vip2] 那么问题来了，物质的量究竟是什么呢？ [/vip2]
还记得以前学过的比例尺吗？在地图上经常见到。因为地面实际的距离实在是太大了，我们不可能按1比1画出地图，所以我们要将实际距离按照一定比例缩小，这样，比例尺 = 图上距离 : 实际距离。而在研究化学问题的时候我们也遇到了同样的问题，微观粒子实在是太小小了，这样会导致测量一个粒子的质量、体积造成很大的困难【测量困难】，而它们的数目又特别特别多，给数字表示上面带来了极大的不便【表示困难】。
首先，我们解决测量困难的问题：
一个粒子测量困难怎么办呢？我们抓“一大把”测量不就好了吗？那到底要抓多少呢？人们约定，采用原子C12中所含的微粒数作为这“一大把”的具体数值，它的数量是6.02*(10^23)，我们将这个数值用符号NA表示。这样我们就解决了测量困难的问题啦。
那么接着，表示困难怎么解决呢？
这还不简单，我们采用类似比例尺的思路来借助NA来衡量其它物质的微粒数不就好啦？
于是我们有了一个新的比例尺：
比例尺（缩放系数） = 缩放后的微粒数 : 实际微粒数为了方便表示，我们为按比例尺缩放后的微粒数提供一个单位，叫做摩尔（mol），同时规定这个缩放后的微粒数叫我们所要研究的物质的”物质的量”。所以所谓的物质的量，实际上就是物质的实际微粒数在经过比例尺缩放后的，缩放的微粒数。
这样，我们只要能够测量出这“一大把”微粒数（1mol）物质的质量，那么按照比例尺缩放回去，物质的实际的质量不也就知道了吗？
实际上伟大的科学家大大都帮我们测量到啦！
打开化学课本的元素周期表，里面的元素对应的相对原子质量，其实就是经过我们的“比例尺”将实际质量缩放后而得到，也就是1mol的物质的质量。
所以我们的可爱的课本上有这样的说法：1mol的物质的质量，在以克为单位的时候，数值上和该物质的相对原子质量相等。所谓的“相对”，实际上就是相对C12的微粒数，也就是相对NA——我们的“比例尺”，缩放得到滴。
接着气体的体积相对于固态物质而言的测量要简单的多，因为气体内部的微粒间隔大，体积实际上不受具体物质类型的影响，只受温度和压强的影响，所以科学家们测得在0摄氏度，101千帕的标准大气压下，1mol（NA数量）的气体所具有的体积是22.4升，我们将它称为“气体摩尔体积”。还有在25摄氏度，101千帕的大气压下，1mol的气体所具有的体积是24.8升。记作：22.4L/mol和24.8L/mol。
关于浓度，用类似的思路理解应该也不困难滴。
[vip3]比例性质的应用[/vip3]
由等比定理，我们有
物质的实际质量 + 物质的实际体积
物质的摩尔质量 + 物质的摩尔体积
= NA
根据合分比定理，我们有
(物质的实际质量 + 物质的摩尔质量) ÷ (物质的摩尔质量-物质的摩尔质量)
= (物质的实际体积 + 物质的摩尔体积) ÷ (物质的实际体积 - 物质的摩尔体积)
类似还可以推导一些，或许它们没有什么实际意义，但是利用方程的思想，可以帮我们再解题的时候简化一些步骤哦。
[vip1]关于弧度和圆[/vip1]
参考@惊蛰_ 的回答就好啦
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本帖最后由 黑霍霍 于 2019-10-21 11:29 编辑
2. 回忆化学中学过的物质的量的相关运算，你能运用上面回顾的比例的基本性质推导一些结论吗？1. “物质的量” 这个在教科书上的定义是 表示含有一定数目粒子的集合体。
首先“一定数目粒子”，是根据大家开会规定的，即为12克的碳-12，它里所含的碳原子个数为6.02 X 1023 个。
“物质的量” 的单位是mol。
第二个“集合体” , 我理解为一种 组合的概念 ，没有实质意思。
2.“1mol 任何粒子或物质的质量以克为单位时，其数值都与该粒子的相对原子质量或相对分子质量相等”。
比如 1mol 的水 为 18g 时，
通过 其数值都与该粒子的“相对原子质量”，这里的相对 就是根据1中的12克的碳-12相比较 得出的比值，
所以，这里的 18 是 水分子：碳-12 得出的。
那么，摩尔质量，顾名思义，就是 物质的质量 : (1个单位mol X 其质量比值 )
参考：化学必修1 P11
让我猜，为啥搞这些花里胡哨的东西，是因为单单一个粒子实在微不足道，难以计量，所以采用抱团的方法?
我们知道 AB=AD+DB，AC=AE+EC 于是有AD:(AD+DB)=AE:(AE+EC) 即如果a:b=c:d,(a+b):b=(c+d):D 合比定理 类似的还可以证明分比定理、合分比定理学到了，学到了，还能这样拆。。。
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啊我真的不想排版啦，太乱了（可是不排版更乱喂！）[block1]第一题[/block1]
1. 观察下面这一列数：
第一项：262
第二项：277
第三项：294
第四项：311
第五项：330
第六项：349
第七项：370
第八项：392
第九项：415
第十项：440
第十一项：466
第十二项：494
第十三项：523
你们发现它们之间有什么规律吗？你能大概写出第二十五项的值吗？（20分/灵石）
【提示】在浏览器里按住快捷键Ctrl+Shift+I弹出一个窗口，在窗口里选择控制台（console），然后直接接输入算式后按回车可以让电脑帮忙计算哦。
[block1]第二题[/block1]
2. 中学的时候我们学到过，声音由震动产生，而震动自然会有“频率”和“响度”，同时我们还学到过，频率决定声音的音高，响度决定声音的音量，那么显然，声音的震动频率是区分不同音调的唯一因素。
那么音乐上面的具有不同音高的【do（哆）、升do、re（来）、升re、mi（咪）、fa（发）、sol（唆）、升sol、la（拉）、升la、si（西）、升si】实际上就具有着不同的震动频率。人们的实践经验发现，震动频率比为两倍音调的，比如do和比它高八度的do；re和比他高八度的re，即在钢琴键盘上面任意选择一个键（可以上网搜索Flash钢琴哦），包括它本身在内开始往下数的第十三个键发出的声音听起来具有很强烈的相似性。
如果其中一个音阶的震动频率是f，那么音高比它高8度的那个音阶的震动频率为2f。那么两个音都有自身的振动频率，在此基础上人们希望在它们之间均匀分割出一些音来，这样每个音的声音就不同又具有规律啦。习惯上，人们把“2f”12等分，即每份是“2^(1/12)f”【2的12分之1次方，即12次根号2】，这样，钢琴键盘上的所有的音都能够被确定啦。国际上规定频率为440HZ的音为国际标准音，也就是我们产起来的la，同时规定la的音名为英文字母的首字母A。于是我们有这样的音名记号：
| do（哆） | 升do | re（来） | 升re | mi（咪） | fa（发） | sol（唆） | 升sol | la（拉） | 升la | si（西） | 升si |
| C | D | E | F | G | A | B |
实际上，问题1的那一列数，就是钢琴上小字1组的这些音的震动频率噢，你找到440HZ了吗？显然，它们是一个以440HZ为首项，公比为2的12分之1次方的等比数列，那么你能根据此来在此回答问题1吗？联系问题1和2，谈谈你的体会。（20分/灵石）
[block1]第三题[/block1]
3.
一般地，我们用符号{an},{bn}{cn}等来代表数列，那么假设有一个数列{an}，它是一个首项为m，公比为q等比数列，它的每一项可以这样表示：
a1 = ma2 = m*q
a3 = m*q^2
a4 = m*q^3
……
那么根据这个规律，它的任意项（第n项）an，为
an = m*q^(n-1) 【m乘以q的(n-1)次方】
同时我们还有
a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... = an/a(n-1)=q
根据【数学日常1】里面学习到的比例的基本性质中的等比定理，我们还有
(a2+a3+...an)/(a1+a2+a(n-1)) = q。【1】
我们将一个数列的前n项和记作Sn，若前3项和即为S3 = a1 + a2 + a3。
那么根据【1】我们有
(Sn-a1)/S(n-1) = q【2】
即
Sn-a1 = q[S(n-1)]
而前n-1项的和不也等于前n项和减去末项an吗，所以我们有：
Sn-a1 = q(Sn-an)
即
(1-q)Sn = a1-q*an
移项，合并同类项得
Sn = (a1-q*an)/(1-q)
于是，我们成功地使用首项，公比，末项来表示等比数列的前n项和啦！
同时我们又知道末项也可以用首项和公比来表示，所以我们将an = a1+ q*(n-1)带入上式，会得到更方便的求和公式哦。
将此带入过程呈现在演算纸上并上传。同时翻阅高中数学必修5电子课本（本版块有下载）中等比数列前n项和的推导公式，与这里的推导方法相比，你有什么收获呢？记住事物是相互联系的哈。此外你还能用比例的性质推导和发现等比数列的其它性质吗？（50分/灵石）
[block1]第四题[/block1]
4. 用【数学日常1】中提到的相似三角形法，证明等比定理：如果a:b=c:d=e:f=k，那么(a+c+e)/(b+d+f)=k，同时证明推广到n项该定理也同样适用。（60分/灵石）
本帖最后由 矮油爆他菊 于 2019-10-22 04:39 编辑
一、双倍等差数列#11m
262+(2*1+13)+(2*2+13)+…+(2*24+13)=262+13*24+2*(1+ 2 + 3 +…+24)=262+312+2*0.5*24*25=574+600=1174
话说那个加2加居然是个表情啊！气死了加3加也是啊！#20m
完全只看了前几项，太着急搞错了嘛QAQ#17m
等比数列的话姆———
262*2^(24/12)=262*4=1048就是第25项了XD#33m
二、原来频率是相乘的，这点完全忘记了。。。（吐舌头#17m
不过为什么440 Hz是国际标准音而不是220或者880呢？是不是因为它比较处在人类音域的中间（胡扯#40m
三、带入我会我会（怎么回事你老出错#39m
Sn=(a1-q*a1-q^n)/(1-q)=a1-q^n/(1-q)
课本偶没有下载，考完试继续回来做XD
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1.1046
2.第一项包括它本身往下数13项，那就是第十三项，262*2=524，跟第十三项523差1，嗯，相似，直接用第十三项double一下1046就是第二十五项。
3.Sn= (a1-q*an)/(1-q)=[a1-q*a1*q^(n-1)]/(1-q)=a1[1-q^(n-1)]/(1-q)
（一式推导出来的二式少个括号，二式下面的式子写漏了a1）
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