即日起，我会精选一些独特的、有趣的、或是能够帮助宅友们丰富数学知识以至于能够应付考试的一些精妙数学的问题给大家。#7126!>> 我是可爱的问题
1. 还记的比例的基本性质吗？无论你是否能够很快的回顾起来，现在请画一个三角形，用一条和底边平行的直线切割这个三角形，然后利用相似三角形的原理分析其中的边角关系，然后分析其中的比例关系，它们便是比例的基本性质。请将思维过程截图并回复。（50分/灵石）
2. 回忆化学中学过的物质的量的相关运算，你能运用上面回顾的比例的基本性质推导一些结论吗？请将分析过程截图。（无论它们时候具有实际意义，你的思维过程都是宝贵的）（50分/灵石）
[要是我没学过物质的量肿么办？在学科区找到化学必修一的电子课本，快速翻阅第一章的内容即可学到啦]3. 你还记得弧度制的定义吗？我们规定“在同圆或等圆中，弧长等于半径长的圆心角所对应的弧度数为1弧度”，仔细思考你今天所熟练运用的弧度制运算，你能明白这样规定的好处吗？圆周率π是周长和直径的比值，弧度是弧长和半径的比值，你能发现这之间的联系吗？请将你的思维过程截图并回复。（60分/灵石）
4. 联系问题2，和问题3，你能彻底明白将碳原子的微粒数为基准来衡量其它物质的微粒数的“物质的量”的定义吗？（20分/灵石）
5. 请自己编写一个关于比例和实际生活的思考题给宅友完成，该问题将会入选下一次的思维训练。（1技能点、20喵点）
>> 复习引导
1. 三角函数相关
2. 平面几何相关
3. 物质的量相关
选择你喜欢的题目作答，不一定要全部回答哦。大家的作答将在下期公开，届时大家可以相互讨论。◇思考提示将在下期给出◇[查看全文]
啊我真的不想排版啦，太乱了（可是不排版更乱喂！）[block1]第一题[/block1]
1. 观察下面这一列数：
第一项：262
第二项：277
第三项：294
第四项：311
第五项：330
第六项：349
第七项：370
第八项：392
第九项：415
第十项：440
第十一项：466
第十二项：494
第十三项：523
你们发现它们之间有什么规律吗？你能大概写出第二十五项的值吗？（20分/灵石）
【提示】在浏览器里按住快捷键Ctrl+Shift+I弹出一个窗口，在窗口里选择控制台（console），然后直接接输入算式后按回车可以让电脑帮忙计算哦。
[block1]第二题[/block1]
2. 中学的时候我们学到过，声音由震动产生，而震动自然会有“频率”和“响度”，同时我们还学到过，频率决定声音的音高，响度决定声音的音量，那么显然，声音的震动频率是区分不同音调的唯一因素。
那么音乐上面的具有不同音高的【do（哆）、升do、re（来）、升re、mi（咪）、fa（发）、sol（唆）、升sol、la（拉）、升la、si（西）、升si】实际上就具有着不同的震动频率。人们的实践经验发现，震动频率比为两倍音调的，比如do和比它高八度的do；re和比他高八度的re，即在钢琴键盘上面任意选择一个键（可以上网搜索Flash钢琴哦），包括它本身在内开始往下数的第十三个键发出的声音听起来具有很强烈的相似性。
如果其中一个音阶的震动频率是f，那么音高比它高8度的那个音阶的震动频率为2f。那么两个音都有自身的振动频率，在此基础上人们希望在它们之间均匀分割出一些音来，这样每个音的声音就不同又具有规律啦。习惯上，人们把“2f”12等分，即每份是“2^(1/12)f”【2的12分之1次方，即12次根号2】，这样，钢琴键盘上的所有的音都能够被确定啦。国际上规定频率为440HZ的音为国际标准音，也就是我们产起来的la，同时规定la的音名为英文字母的首字母A。于是我们有这样的音名记号：
| do（哆） | 升do | re（来） | 升re | mi（咪） | fa（发） | sol（唆） | 升sol | la（拉） | 升la | si（西） | 升si |
| C | D | E | F | G | A | B |
实际上，问题1的那一列数，就是钢琴上小字1组的这些音的震动频率噢，你找到440HZ了吗？显然，它们是一个以440HZ为首项，公比为2的12分之1次方的等比数列，那么你能根据此来在此回答问题1吗？联系问题1和2，谈谈你的体会。（20分/灵石）
[block1]第三题[/block1]
3.
一般地，我们用符号{an},{bn}{cn}等来代表数列，那么假设有一个数列{an}，它是一个首项为m，公比为q等比数列，它的每一项可以这样表示：
a1 = ma2 = m*q
a3 = m*q^2
a4 = m*q^3
……
那么根据这个规律，它的任意项（第n项）an，为
an = m*q^(n-1) 【m乘以q的(n-1)次方】
同时我们还有
a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... = an/a(n-1)=q
根据【数学日常1】里面学习到的比例的基本性质中的等比定理，我们还有
(a2+a3+...an)/(a1+a2+a(n-1)) = q。【1】
我们将一个数列的前n项和记作Sn，若前3项和即为S3 = a1 + a2 + a3。
那么根据【1】我们有
(Sn-a1)/S(n-1) = q【2】
即
Sn-a1 = q[S(n-1)]
而前n-1项的和不也等于前n项和减去末项an吗，所以我们有：
Sn-a1 = q(Sn-an)
即
(1-q)Sn = a1-q*an
移项，合并同类项得
Sn = (a1-q*an)/(1-q)
于是，我们成功地使用首项，公比，末项来表示等比数列的前n项和啦！
同时我们又知道末项也可以用首项和公比来表示，所以我们将an = a1+ q*(n-1)带入上式，会得到更方便的求和公式哦。
将此带入过程呈现在演算纸上并上传。同时翻阅高中数学必修5电子课本（本版块有下载）中等比数列前n项和的推导公式，与这里的推导方法相比，你有什么收获呢？记住事物是相互联系的哈。此外你还能用比例的性质推导和发现等比数列的其它性质吗？（50分/灵石）
[block1]第四题[/block1]
4. 用【数学日常1】中提到的相似三角形法，证明等比定理：如果a:b=c:d=e:f=k，那么(a+c+e)/(b+d+f)=k，同时证明推广到n项该定理也同样适用。（60分/灵石）
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